Khái quát về đề tài nghiên cứu của GS.Ngô Bảo Châu - chương trình Langland

Thảo luận trong 'TOÁN' bắt đầu bởi Chí Chuột, 18/6/11.

  1. Chí Chuột .:: Đì - rai - nơ ::.

    Thời gian qua, nhiều bạn có nghe nói nhiều đến sự kiện liên quan đến GS.Ngô Bảo Châu, nhưng số ít bạn vẫn không biết tài nghiên cứu của GS là gì. Ở topic này các bạn sẽ hiểu hơn về Bổ đề cơ bản - đề tài nghiên cứu của GS Ngô Bảo Châu


    Giới thiệu khái quát về chương trình Langlands



    Chương trình Langsland là gì?

    Là chương trình toán học lớn nhằm thống nhất hình học và số học. Cụ thể hơn nó là một loạt những giả thuyết, để nối kết lý thuyết số với lý thuyết nhóm.

    Khái niệm lí thuyết số và lí thuyết nhóm

    Lý thuyết số

    Lý thuyết số là ngành nghiên cứu số nguyên, tức là những số như 1, 13, 1527, khác với số hữu tỷ (3/5, 7/13) hay vô tỷ (số pi), các nhà toán học trong ngành lý thuyết số nghiên cứu mối quan hệ giữa các số nguyên, và trong đó quan trọng nhất là số nguyên tố.

    Số nguyên tố, như 2, 3, 5, 7, 11, 13, v.v... là những số chỉ chia hết cho số 1 và chính nó. Số 9 không phải là số nguyên tố vì chia hết cho 3.

    Ngành lý thuyết số nghiên cứu mối quan hệ giữa các số, giữa các số nguyên tố, họ nghiên cứu các số này liên quan với nhau ra sao, khi cộng trừ nhân chia với nhau thì kết quả gì sẽ xảy ra.


    Lý thuyết nhóm

    Lý thuyết nhóm là ngành nghiên cứu sự đối xứng, và có nhiều ứng dụng trong hóa học, trong vật lý, và trong việc chế tạo thuốc mới.

    Trong hóa học, thí dụ có phân tử nằm theo hình khối tam giác, tức là như một kim tự tháp ba mặt. Người ta muốn biết khi hình khối đó xoay hướng này hướng kia thì phân tử đó trở thành khác đi, và lý thuyết nhóm cho các nhà hóa học tiên liệu những chuyện này.

    Lý thuyết nhóm cho phép người ta nghiên cứu các cách đối xứng trong không gian, từ không gian ba chiều, cho tới không gian bốn chiều hoặc nhiều hơn.

    Trong vật lý hạt nhân, các nhà vật lý nghiên cứu lý thuyết dây. Ðó chính là vật trong không gian đa chiều, và các cách xoay chiều và đối xứng của những 'dây' đó, là kết quả của lý thuyết nhóm.

    Trong y, dược học cũng có ứng dụng lý thuyết nhóm. Cũng những phân tử đó, nếu nhà làm thuốc ghép theo hướng này hướng khác thì thuốc trở thành thuốc khác. và lý thuyết nhóm là phương tiện để tìm cách chế tạo thuốc mới.

    Trong toán học lý thuyết nhóm xuất hiện lần đầu trong công trình của nhà toán học Pháp Évariste Galois vào năm 1830 khi ông nghiên cứu về điều kiện để các phương trình đại số giải được bằng căn thức. Khi đó các nhóm thường được nghiên cứu là nhóm các hoán vị. Rất nhiều cấu trúc toán học khác nhau được quy về cấu trúc nhóm. Trong đó bao gồm cả cấu trúc của tập hợp các số nguyên, số hữu tỷ, số thức,số phức.

    Chương trình langlands

    Cần bắt đầu câu chuyện từ Galois, nhà toán học người Pháp, người đặt nền móng cho toán học hiện đại. Ông đã phát hiện mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm và lời giải phương trình đa thức. Trước Galois, người ta đã biết phương trình đa thức từ bậc 5 trở lên không có công thức nghiệm tổng quát. Đó là nội dung của định lý Abel. Chẳng hạn như phương trình bậc nhất a x + b = 0 có công thức nghiệm tổng quát x=-b/a. Nhưng định lý Abel không cho biết khi nào phương trình đa thức có nghiệm và có thể giải được. Lý thuyết của Galois trả lời được vấn đề này. Kết quả là một phương trình đa thức có thể giải được hay không phụ thuộc vào các nghiệm số của nó có tạo thành một nhóm hoán vị hay không. Nhóm hoán vị này gọi là nhóm Galois. Chẳng hạn đối với phương trình bậc 2: a x^2 + b x + c = 0 có nghiệm số x1, x2 thỏa mãn công thức Viete: x1+x2=-b/a và x1*x2=c/a. Nếu đổi chỗ hai nghiệm này cho nhau trong công thức Viete thì ta vẫn thu được đẳng thức đúng: x2+x1=-b/a và x2*x1=c/a. Như vậy nghiệm số của phương trình bậc 2 có hai phép đối xứng: một là đồng nhất và hai là hoán vị. Chúng tạo thành nhóm Galois. Từ khái niệm nhóm Galois người ta phát triển tới khái niệm biểu diễn Galois. Biểu diễn Galois có thể xem là diễn tả mối quan hệ phức tạp giữa các nghiệm số của các phương trình nghiên cứu trong lý thuyết số.

    Để hiểu được ý nghĩa của chương trình bổ đề Langlands, thì cũng cần chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat,(nhà toán học Pháp nêu lên vào thế kỷ 17 nhưng không để lại chứng minh) Và, vì thế, nó đã trở thành một thách đố làm bối rối những bộ óc vĩ đại nhất của nhân loại trong hơn ba thế kỷ! Thoạt nhìn, định lý thật giản đơn: Phương trình xn + yn = zn không có nghiệm nguyên dương khi n > 2.

    Và câu hỏi là một số nguyên tố lẻ như thế nào có thể viết thành tổng của hai số chính phương? Ví dụ như 13=3^2 + 2^2. Fermat tìm ra số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 (có nghĩa là chia cho 4 dư 1) có tính chất như vậy. Ví dụ như các số 5, 13, 17... Như vậy mẫu hình cho số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác là có tính chất đối xứng. Định lý Fermat này là ví dụ đơn giản cho bài toán tổng quát hơn có tên gọi là luật nghịch đảo. Luật nghịch đảo tìm điều kiện để một phương trình bình phương đồng dư một số nguyên tố có nghiệm.

    Định lý lớn Fermat khiến ta nhớ tới một định lý đã được Pythagore, nhà toán học Hy Lạp cổ đại, chứng minh vào thế kỷ 6 trước Công nguyên, thường gọi là Định lý Pythagore: x2 + y2 = z2 (nếu trong một tam giác vuông ta coi cạnh huyền là z, các cạnh góc vuông là x và y).

    Thế nhưng, hơn ba thế kỷ trôi qua, không ai chứng minh được Định lý này.

    Giữa thế kỷ 20, hai nhà toán học Nhật Bản Yukata Taniyama và Goro Shimura đưa ra giả thuyết là mỗi phương trình eliptic đều có liên hệ với một dạng modular. Nếu giả thuyết này đúng, thì nó sẽ tạo điều kiện để giải quyết nhiều bài toán eliptic cho đến nay chưa giải quyết được, bằng cách tiếp cận chúng qua thế giới modular. Và, như vậy, hai thế giới eliptic và modular vốn tách biệt nhau, sẽ có thể thống nhất và bất cứ một bài toán chưa giải được trong một lĩnh vực nào đều có thể đổi thành một bài toán tương tự trong một lĩnh vực khác, và các nhà toán học có thể huy động cả một kho to lớn những kỹ thuật mới để giải nó.
    Trong những năm 1960, R. Langlands và những người cộng tác tại Đại học Princeton (Mỹ) đưa ra một loạt giả thuyết về những mối liên hệ giữa nhiều ngành toán học vốn rất khác nhau, và kêu gọi giới toán học quốc tế hợp tác chứng minh những giả thuyết cấu thành Chương trình Langlands.

    Năm 1984, tại một hội nghị toán học tổ chức tại CHLB Đức, Gerhard Frey đi tới một kết luận là nếu chứng minh được Giả thuyết Taniyama - Shimura, thì cũng có nghĩa là chứng minh được Định lý lớn Fermat, bởi vì định lý này chỉ là một hệ quả của giả thuyết trên.

    Năm 1991 , A. Wiles - một nhà toán học người Anh nghiên cứu tại Mỹ đã thành công khi chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat, chấm dứt hơn 300 năm năm căng thẳng trong giới toán học. Tuy nhiên, một kết quả mà những người ta ít chú ý tới, nhưng lại có ý nghĩa to lớn hơn nhiều, đó là chứng minh Giả thuyết Taniyama - Shimura nói trên

    Giả thuyết Taniyama - Shimura được chứng minh có nghĩa là Chương trình Langlands có nền tảng vững chắc, và ko phải là 1 công thức mơ hồ. Chương trình này mặc nhiên trở thành bản thiết kế cho tương lai của toán học.

    Một loạt giả thuyết toán học của Chương trình này liên kết nhiều đối tượng có vẻ rất khác nhau trong các lĩnh vực toán học như lý thuyết số, hình học đại số, lý thuyết các dạng tự đẳng cấu... ngày càng thu hút sự chú ý của các nhà toán học , và dần dần trở thành dòng chủ lưu của toán học hiện nay.

    Năm 1987, Langlands đã phỏng đoán về một tương tự tương ứng cho trường hàm trên trường phức, về sau, được gọi là tương ứng Langlands hình học. Để chứng minh được sự tồn tại của tương ứng đó, phải giải quyết một bài toán lớn mà lúc đầu Langlands chưa thấy hết mức độ phức tạp của nó, nên mới gọi là Bổ đề cơ bản.

    Langlands, cũng tìm ra mối liên quan với hình thức tự cấu.Hình thức tự cấu có thể coi là những hàm số đối xứng cao. Ví dụ đơn giản là hàm sin(x) hay cos(x). Các hàm số này có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác chúng bất biến nếu ta dịch chuyển cả đồ thị hàm số dọc theo trục x đi 2 pi. Đây là tính chất đối xứng đơn giản. Langlands chỉ ra tương lai của lý thuyết số là ở hiểu biết các hàm số có tính chất chu kỳ kỳ lạ hay ở các dạng phức hợp khác. Ông nhận thấy một số (ví dụ như số 4 trong định lý Fermat kể trên là chu kỳ cho số nguyên tố lẻ có tính chất là tổng của hai số chính phương) thực ra là một ma trận 1x1. Như vậy sự dịch chuyển chu kỳ kiểu như vậy trong định lý Fermat kể trên có thể biểu diễn bằng một số hay một ma trận 1x1. Với các định luật nghịch đảo tổng quát hơn khoảng cách dịch chuyển biến đổi đằng sau chúng có thể biểu diễn bằng ma trận có kích thước lớn hơn. Đây là một định đề của Langlands trong chương trình mang tên ông.

    Langlands đã đề xuất mối liên hệ mật thiết giữa đại số và giải tích, mà cụ thể hơn là sự tương ứng giữa biểu diễn Galois và hình thức tự cấu. Và là một lý thuyết thống nhất lớn của toán học trong đó bao gồm cả tìm kiếm tổng quát hóa của tính nghịch đảo Artin đến mở rộng Galois cho trường số.

    Năm 1979, Labesse và Langlands công bố khám phá hiện tượng về hai biểu diễn tự cấu cùng tương ứng với một hàm số L có thể xảy ra với bội khác nhau trong không gian của các hình thức tự cấu. Ban đầu Labesse và Langlands mới chỉ chứng minh cho nhóm SL(2). Sau đó Kottwitz chứng minh cho nhóm SL(3), và được Waldspurger chứng minh cho toàn bộ nhóm SL(n). Hales và Weissauer chứng minh cho nhóm Sp(4). Kottwitz và Rogawski chứng minh cho nhóm unitary U(3). Sau đó Laumon và Ngô Bảo Châu chứng minh cho toàn bộ nhóm unitary U(n). Với kết quả này, Laumon và Ngô Bảo Châu được trao giải thưởng nghiên cứu Clay vào năm 2004 cùng với Green. Tóm lại là GS Châu đã tìm ra điểm chung trong quá trình giải và liên kết chúng lại với nhau.

    Thuật ngữ bổ đề (lemma) thường dùng để chỉ một cái gì đó dễ chứng minh, nhưng, trong trường hợp này, cụm từ bổ đề cơ bản (fundamental lemma) lại gắn liền với một giả thuyết quyết định, một bộ phận không thể tách rời của Chương trình Langlands, một "bổ đề" khó chứng minh đến mức mà 30 năm qua nhiều nhà toán học hàng đầu - đã ra sức lao vào giải quyết nhưng đều thất bại và năm 2008, GS. Ngô Bảo Châu chứng minh cho tất cả trường hợp và kết quả được khẳng định vào năm nay là GS được trao giải Fields.


    ST​
    Lưu ý: Bạn phải Đăng nhập để có thể xem đầy đủ đề thi, tài liệu.
  2. cyber_full

    cyber_full New Member

    Tham gia ngày:
    4/3/11
    Bài viết:
    371
    Ôi thôi đọc sợ nổ mất não mất. Biết thế là đc rùi. Xin những phút giây bình yên :))
  3. ankkun8888

    ankkun8888 New Member

    Tham gia ngày:
    21/3/11
    Bài viết:
    319
    :coaiko: em xin người 12 năm chuyên toán của em đọc cái này cũng ... quá hức hức bây giờ quan tâm tới tình hình bvieen đông bao giờ đánh nhau đây sẵn sàng gác bút nghiên lên đường đánh bọn TQ ùi

Chia sẻ trang này

Diễn đàn chính thức sinh viên Học viện Ngân Hàng

  1. bai tap nhom hoan vi

    ,
  2. bài tập về nhóm galois

    ,
  3. phương trình đồng dư